El propósito original de este libro era presentar los resultados sobre álgebra conmutativa necesarios para un futuro libro de geometría algebraica moderna (teoría de esquemas). Algunos de estos resultados requieren para su demostración una base de álgebra homológica, que en una primera redacción aparecía intercalada en los distintos capítulos a medida que iba siendo necesaria y, para las demostraciones, remitía a menudo a mi libro de Topología algebraica. Sin embargo, dado que la teoría de esquemas requiere una exposición más general del álgebra homológica que la que en principio exigiría la finalidad de este libro, decidí finalmente tratar esta materia con la generalidad necesaria a largo plazo en un primer capítulo preliminar. Me encontré entonces con que la teoría de este primer capítulo tiene aplicaciones a la topología algebraica y a la geometría diferencial más inmediatas que sus pretendidas aplicaciones a la teoría de esquemas, por lo que decidí incluirlas también en el presente libro. A su vez, este tratamiento del álgebra homológica hacía natural anticipar algunos resultados que en un principio pensaba introducir en el libro sobre teoría de esquemas.

El resultado final es que, formalmente, este libro ha pasado de ser un libro de álgebra conmutativa a tener dos partes de aproximadamente igual peso: una primera de álgebra homológica, dividida en dos capítulos, y una segunda de álgebra conmutativa, dividida en tres. Por otra parte, en cuanto a su contenido se pueden distinguir tres niveles, que pueden dar lugar a tres lecturas diferentes según los intereses de cada lector. En primer lugar están los resultados de álgebra homológica con aplicaciones a la topología algebraica y a la geometría diferencial; en segundo lugar están los resultados de álgebra conmutativa que incluyen una parte de álgebra homológica; y en tercer lugar están los resultados de álgebra homológica —más un apéndice en el que se combinan las dos álgebras— incluidos aquí para referirme a ellos en el citado libro de geometría algebraica, y que sería razonable omitir en una primera lectura.

Prescindiendo de algunos ejemplos y comentarios marginales, el esquema de dependencia entre las distintas partes es el que aparece en la página siguiente. La primera columna contiene los resultados de álgebra homológica (Capítulo I) y sus aplicaciones relacionadas con la geometría diferencial y la topología algebraica. En la sección 2.1 se construyen los funtores Tor, que son la única herramienta cohomológica necesaria en la parte de álgebra conmutativa, mientras que las secciones 2.3 y 2.4 contienen propiedades sobre los módulos localmente libres y sobre los funtores Ext que no tendrán ninguna aplicación en este libro, pero que son necesarios en la teoría de esquemas (y lo mismo vale para los resultados sobre los funtores f* y f∗ estudiados en el apéndice B). La tercera columna corresponde a los resultados de álgebra conmutativa propiamente dicha. En la sección 2.5 se usará un resultado sobre módulos que aparece demostrado en el apéndice A, si bien la prueba se basa únicamente en resultados elementales. Por último, las aplicaciones de las secciones 2.6-2.9 hacen referencia a los resultados de topología algebraica y geometría diferencial que aparecen demostrados en mi libro de Topología Algebraica.

Tabla de Contenido
Introducción

1. Algebra homológica
Capítulo I: Funtores derivados
1.1. Haces
1.2. Espacios anillados
1.3. Categorías y funtores
1.4. Módulos inyectivos y proyectivos
1.5. Complejos
1.6. Resoluciones inyectivas y proyectivas
1.7. Funtores derivados
1.8. Caracterización axiomática
Capítulo II: Ejemplos de funtores derivados
2.1. Los funtores Tor
2.2. Grupos de cohomologıa
2.3. Módulos localmente libres
2.4. Los funtores Ext
2.5. Cohomologıa en espacios para compactos
2.6. La cohomologıa singular
2.7. La cohomologıa de Alexander-Spanier
2.8. La cohomologıa de De Rham
2.9. La estructura multiplicativa

2. Álgebra conmutativa
Capítulo III: La geometría afín
3.1. Módulos de cocientes
3.2. Conjuntos algebraicos afines
3.3. La topología de Zariski
3.4. El espectro de un anillo
3.5. Primos asociados
3.6. Extensiones enteras
3.7. La dimensión de Krull
3.8. Funciones regulares
Capítulo IV: Anillos locales
4.1. Compleciones
4.2. Topologías inducidas por ideales
4.3. Anillos y módulos artinianos
4.4. El polinomio de Hilbert
4.5. El teorema de la dimensión
Capítulo V: Regularidad
5.1. El teorema de la altura
5.2. Anillos locales regulares
5.3. Sucesiones regulares
5.4. Anillos de Cohen-Macaulay
5.5. La dimensión proyectiva
5.6. Variedades regulares
Apéndice A: Módulos planos
Apéndice B: Imágenes directas e inversas de módulos
Bibliografía
Índice de Materias

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Fuente: Carlos Ivorra Castillo