El cubo de rubik y otros pasatiempos matemáticos

El cubo mágico, con su desconcertante habilidad para sembrar la confusión de forma instantánea nos proporciona un ejemplo excelente de acción de un grupo sobre un conjunto. Probablemente ya habrá visto Ud. el rompecabezas incluso es posible que tenga uno propio. Pero, en caso negativo, ha aquí una breve descripción. Se trata de un cubo dividido en 27 cubos pequeños dispuestos de 3 por cada arista. Dentro hay un mecanismo ingenioso que mantiene unidos a los cubitos de tal manera que se pueda girar cada una de las caras del cubo mágico alrededor de su centro.

Las caras visibles de los cubitos están coloreadas; en su disposición primitiva cada cara del cubo mágico, formada por nueve cuadraditos, es monocroma y las seis caras tienen colores diferentes. Si se gira una cara y luego otra y otra, después de cuatro o cinco movimientos los colores aparecen completamente revueltos. Invariablemente surgen dos preguntas. La primera es ¿cómo funciona?

Dejamos al lector el trabajo de descubrirlo por su cuenta. Necesitará la imaginación desbordante del inventor del cubo, el Profesor Erno Rubik de Budapest, si quiere encontrar una respuesta por la vía del pensamiento. La segunda es ¿cómo se puede resolver?, o sea, ¿qué reglas sencillas y fácilmente memorizables, sirven para devolver al cubo a su disposición original partiendo de cualquier configuración? Aunque en la actualidad existen muchos algoritmos válidos distintos no deseamos desilusionarle dándole detalles. Estas páginas intentan indicar el papel que juega la teoría de grupos en el estudio del cubo mágico. En ellas se maneja el cubo como una ilustración excelente de la teoría de acciones de grupos sobre conjuntos.

Según escribió el propio Erno Rubik:

“Para mí este objeto es un ejemplo admirable de la belleza rigurosa, de la gran riqueza de las leyes naturales; es un ejemplo sorprendente de las posibilidades admirables del espíritu humano para probar su rigor científico y para dominar esas leyes… Es el ejemplo de la unidad de lo verdadero y de lo bello, lo que para mí significan la misma cosa. Todo esto podría parecer exagerado a propósito de un simple juguete, pero confió en que quienes, aprovechando sus posibilidades, intenten penetrar en este mundo científico y asimilarlo, harán descubrimientos y serán de mi opinión. Mi convicción íntima es que jugando con él, reflexionando sobre él, podemos alcanzar algo de la lógica pura del Universo, de su esencia sin límites, de su movimiento perpetuo en el espacio y en el tiempo.”

Ahí están las palabras de ese hombre que nació en Budapest (Hungría) en 1.944, hijo de ingeniero mecánico y mujer de letras (poetisa y artista), que estudia Bellas Artes, obtuvo el diploma de Ingeniero, diploma de “designer” (Artes Decorativas) y se dedicó a la enseñanza en la Escuela Superior… De cómo surgió su idea de crear el juego, y cómo se ha desarrollado en nuestros días dan fe las numerosas páginas de Internet dedicadas al Cubo. Solo mencionare como dato curioso que las posiciones aproximadas y posibles en uno de ellos que tenga 3 x 3 eran de unas:

43,252,003,274,489,856,000.

Aunque recomponerlo es, con la ayuda de un libro, bastante fácil.

Grupos de Permutaciones.

Una afirmación no exagerada dice que los grupos miden la simetría. El estudio de las simetrías de figuras geométricas ilustra esta afirmación. El cubo de Rubik y otros puzzles similares ponen de manifiesto esta simetría a través de manipulaciones mecánicas.

Una buena excusa para estudiar los grupos de permutaciones y, por extensión, los grupos finitos, puede ser el construir un modelo teórico para resolver puzzles del tipo del cubo de Rubik. Como dijo Hilbert, el arte de hacer matemáticas es escoger un buen ejemplo del cual aprender. Así que en nuestro caso, el ejemplo es el famoso (aunque ya no tanto) cubo de Rubik.

A lo largo de este libro se ha puesto de manifiesto, y todavía insistiremos más en ello, que la teoría de grupos subyace en una sorprendente variedad de situaciones aparentemente alejadas entre sí. Básicamente, siempre que observemos algún tipo de simetría, no debemos sorprendernos que en esencia tengamos un grupo que sirva de modelo. No solo el cubo de Rubik tiene muchas simetrías, la cristalografía, la física de las partículas, incluso la distribución de las plantas en una siembra, son algunos ejemplos donde se presentan simetrías. Ya Einstein se preguntaba cómo las matemáticas, siendo al fin y al cabo un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, están tan admirablemente adaptadas a los objetos reales.

Observemos algunos detalles básicos sobre el cubo de Rubik y otros puzzles que hacen adecuado el estudio de los grupos de permutaciones para obtener un contexto unificado de planteamiento y resolución de los mismos.

Los pasatiempos que citaremos tienen en común lo siguiente: se trata de puzzles que consisten en varias piezas móviles conectadas a un mecanismo que controla sus posibles movimientos, y que tienen las cinco características siguientes:

1. Las piezas móviles pueden enumerarse de forma que cada movimiento del puzzle corres­ponde a una única permutación de los números {1,2,…, n} que utilizamos para distinguir cada pieza.
2. Si una permutación del conjunto anterior corresponde a más de un movimiento del puzzle, entonces las dos posiciones alcanzadas por los dos movimientos deben ser indistinguibles.
3. Cada movimiento tiene un inverso, es decir existe otro movimiento que recompone el puzzle a la posición de la que se había partido.
4. Si dos movimientos corresponden a dos permutaciones cualesquiera, la secuencia de los dos movimientos consecutivos corresponde a la composición de las permutaciones.
5. Cada puzzle debe tener una posición final (o solución) que quien lo realiza puede, en principio, alcanzar.

Fuente: Pedro Alegría