Esquemas – Carlos Ivorra Castillo

Si S es una superficie de Riemann compacta y conexa de género g ≥ 1, el teorema de Abel-Jacobi afirma que su grupo de clases de grado 0, Pic0(S), es isomorfo a un toro complejo J de dimensión g, que es un grupo de Lie compacto y conexo, al que se le llama variedad jacobiana de S. Más aún, J es una variedad algebraica, en el sentido de que es conformemente equivalente a una variedad algebraica proyectiva, es decir, a un subconjunto de un espacio proyectivo Pn(C) definido por un sistema de ecuaciones polinómicas homogéneas.

(Esto no lo cumplen todos los toros complejos, pero sí los que pueden obtenerse como variedad jacobiana de una superficie de Riemann.) En 1940, André Weil anunció que tenía una demostración de la hipótesis de Riemann para curvas algebraicas definidas sobre cuerpos finitos, bajo el supuesto de que el teorema de Abel-Jacobi fuera generalizable a curvas algebraicas proyectivas regulares definidas sobre un cuerpo arbitrario. (Observemos que una superficie de Riemann es lo mismo que una curva proyectiva regular sobre C.)

No vamos a dar aquí un enunciado preciso de la generalización necesaria, pero en esencia consiste asociar a cada curva proyectiva regular C/k una variedad proyectiva regular JC (su variedad jacobiana), definida también sobre k, que sea una variedad abeliana, es decir, que tenga una estructura de grupo abeliano definida mediante aplicaciones regulares + : JC × JC −→ JC y − : JC −→ JC, y de modo que, con esta estructura de grupo, sea isomorfa al grupo Pic0(C).

Esta generalización del teorema de Abel-Jacobi no es trivial en absoluto, pero hay que tener en cuenta que Weil se encontraba entonces en una prisión militar a causa de “un diff´erend avec les autorités fran，caises au sujet de mes obligations militaires”. Según él mismo explicó: “En d’autres circonstances, une publication m’aurait paru bien prematuree. Mais, en avril 1940, pouvait-on se croire assuré du lendemain?”

El caso era que Weil “casi” sabía como construir la variedad jacobiana de una curva, y el “casi” lo concretó en la década siguiente: en 1944 terminó sus Foundations of Algebraic Geometry (publicadas en 1946), en las que introdujo un concepto abstracto de variedad algebraica, respecto al cual las variedades proyectivas y cuasiproyectivas son como las subvariedades diferenciales de Rn a las variedades diferenciales abstractas; mientras que en 1948 completó sus libros “Sur les Courbes algébriques et les Varietés qui s’en déduisent” y “Varietés Abeliennes et Courbes Algébriques”, en los que construyó las variedades jacobianas como variedades abstractas, no necesariamente proyectivas, y demostró la hipótesis de Riemann de acuerdo con su idea original.

Fuente: Carlos Ivorra Castillo