La geometría es, junto a la teoría de números, una de las ramas más antiguas de la matemática. Si por un momento restringimos el termino para referirnos a lo que los antiguos griegos entendían como tal, podemos decir que su objeto de estudio está íntimamente arraigado en nuestra forma de concebir la realidad. Toda la información que recibimos del mundo que nos rodea, todo lo que vemos, oímos y tocamos, lo procesamos en primera instancia en términos geométricos. Sin embargo, no podemos considerar a las leyes formales que rigen el espacio tridimensional que percibimos como una parte de la física. Al contrario que las leyes físicas, las leyes de la geometría nos son dadas a priori, en cuanto que ninguna experiencia puede confirmar o refutar ninguna de ellas. Por ejemplo, podemos asegurar a priori que es imposible percibir una recta que posea dos paralelas por un mismo punto. Nuestra intuición geométrica nos permite decidir inmediatamente la verdad o falsedad de un gran número de afirmaciones. A su vez, de todas ellas se sigue mediante razonamientos lógicos un cuerpo de teoremas no menos numeroso que, si nuestra intuición no alcanza a validar directamente, al menos los corrobora en instancias particulares.

Los antiguos griegos exploraron en profundidad este cuerpo de teoremas y llegaron a comprender en gran medida su estructura lógica. Tanto es así que en sus exposiciones más elaboradas, el modelo de las cuales son, sin duda, los Elementos de Euclides, no solo se demuestran con un gran sentido del rigor todos los hechos no evidentes, sino que incluso los que cualquiera daría tranquilamente por obvios son demostrados a partir del mínimo número de principios a los que el autor pudo reducirlos (y a algunos más que se usan implícitamente).

Fermat y Descartes descubrieron que la geometría como teoría lógica es equivalente a una estructura algebraica, esencialmente al espacio vectorial R3, en el sentido de que los puntos, rectas, planos, circunferencias, etc. pueden ser identificados con ciertos subconjuntos de R3 de modo que los teoremas geométricos sobre estos conceptos se corresponden con los teoremas algebraicos sobre sus conjuntos asociados. Así surgió la llamada geometría analítica y con ella la clave para una comprensión mucho más profunda de la geometría en general.

El álgebra es especialmente dada a encontrar principios profundos, poco evidentes por sí mismos pero enormemente iluminadores. El que una determinada afirmación se nos aparezca o no como evidente es una cuestión psicológica sin ningún significado matemático, por lo que la geometría axiomática al estilo de Euclides se considera hoy, con razón, como algo superado. El tratamiento algebraico de la geometría, aparte de ser lógicamente más simple, nos abre las puertas de “otras geometrías”, es decir, de otras teorías algebraicas lo suficientemente cercanas a las de la geometría tradicional euclídea como para que sea justo englobarlas bajo el mismo nombre. El caso más elemental es la sustitución del exponente en R3 por cualquier otro número natural. No tenemos ninguna intuición que pueda aplicarse a R4, pero el cambio de un 3 por un 4 apenas modifica la teoría algebraica, que de hecho se desarrolla sin dificultad y por el mismo precio en el espacio general Rn. Otros casos menos triviales son las geometrías no euclídeas o las geometrías basadas en los números complejos.

La algebrización de la geometría no supone únicamente un cambio de lenguaje. En el siglo XIX la geometría, al igual que las demás ramas de la matemática, experimentó un desarrollo gigantesco en varias direcciones. Por un lado, Poncelet sentó las bases de la geometría proyectiva, que viene a demostrar que nuestra intuición nos proporciona una imagen sesgada de una estructura algebraica más regular de lo que los ojos nos muestran. Esta regularidad se pone de manifiesto postulando la existencia de puntos infinitos. Gracias a ellos, una hipérbola y una elipse pueden considerarse como una misma figura vista desde posiciones distintas (la primera con dos puntos en el infinito y la segunda con todos sus puntos finitos). Si postulamos la existencia de puntos imaginarios (en el sentido de los números complejos) la regularidad de la geometría se multiplica una vez más. Por otra parte, Gauss mostro las posibilidades del cálculo diferencial aplicado al estudio de las superficies. La geometría diferencial es hoy la aproximación más potente a la mayoría de las ramas de la geometría.

El objeto de este libro es presentar una panorámica de la geometría previa a la geometría diferencial o, más precisamente, de la geometría sin topología. Hay varias razones por las que consideramos útil conocer las técnicas no topológicas en geometría. Por una parte entre ellas se encuentran las técnicas genuinamente algebraicas, que son de gran valor en sí mismas y por sus posibilidades de aplicación. En muchos casos el álgebra suple con razonamientos conceptuales exquisitamente limpios lo que en un enfoque más directo se convertiría en una ristra de cálculos, concluyentes, pero ciegos.

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Fuente: Carlos Ivorra Castillo

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