En la historia de las matemáticas nos encontramos con muchos momentos en que los matemáticos han manejado con seguridad —por no decir con virtuosismo— conceptos cuya naturaleza y propiedades básicas eran incapaces de precisar. El ejemplo típico lo tenemos en los algebristas de los siglos XVI y XVII, que eran capaces de encontrar raíces reales de polinomios pasando, en caso de ser necesario, por raíces “imaginarias” de otros polinomios que aparecían a lo largo del cálculo. Los números imaginarios eran concebidos como unos conceptos ficticios en los que, sin saber cómo ni por qué, se podía “confiar”, en el sentido de que al incluirlos en los cálculos llevaban a conclusiones correctas.

Naturalmente, la razón por la que los cálculos con números complejos eran correctos es que es posible construir los números complejos, de tal modo que lo que hacían los algebristas —aunque no lo supieran— era usar una serie de teoremas que no sabían demostrar o siquiera enunciar (los números complejos forman un cuerpo, etc.)

Hay muchos otros casos similares: los físicos han estado derivando funciones no derivables durante mucho tiempo, con la convicción de que las derivadas eran unas “funciones generalizadas” que no sabían definir, pero en la que también “se podía confiar”. La razón por la que estos cálculos con funciones misteriosas que no eran funciones no llevaban a paradojas y contradicciones es, por supuesto, que es posible construir unos objetos (las distribuciones) con las propiedades que los físicos postulaban implícitamente en el uso que hacían de sus funciones generalizadas. También Kummer usé unos “divisores primos ideales” que no existían, y que finalmente formalizó Dedekind a través de la noción de ideal de un anillo, los propios números reales no estuvieron exentos de polémicas sobre sus propiedades hasta que Dedekind y Cantor dieron las primeras construcciones explícitas, etc.

El análisis no estándar es la respuesta última a una asignatura pendiente que tenía la matemática. En su origen, el cálculo diferencial se basó también en unos “números ideales” que nadie sabía definir porque tenían que ser no nulos y a la vez menores que cualquier cantidad positiva. Eran los infinitésimos. Por ejemplo, Leibniz explicaba así el cálculo de la derivada de f (x) = x2: tomamos un infinitésimo dx, calculamos el incremento df = f (x+dx)-f (x) y lo dividimos entre la cantidad (no nula) dx.

Tabla de Contenido
Fuente: Carlos Ivorra Castillo

No olvides que para recibir los ultimos artículos directamente en tu correo te puedes suscribir (Recuerda Activar tu suscripción):
Cero-coolLibrosAnálisis,Cálculo,Cálculo diferencial,Cálculo integral,Carlos Ivorra Castillo
En la historia de las matemáticas nos encontramos con muchos momentos en que los matemáticos han manejado con seguridad —por no decir con virtuosismo— conceptos cuya naturaleza y propiedades básicas eran incapaces de precisar. El ejemplo típico lo tenemos en los algebristas de los siglos XVI y XVII, que...