La teoría de las curvas elípticas es una de las creaciones más interesantes de la matemática del siglo XX, si bien sus antecedentes se remontan hasta la matemática griega. Con la teoría que vamos a desarrollar en este libro podremos tratar problemas como ´este (resuelto por Mordell en 1962):

Problema 1: Demostrar que los únicos números naturales no nulos que pueden expresarse simultáneamente como producto de dos y tres números consecutivos son

6 = 2 · 3 = 1 · 2 · 3 y 210 = 14 · 15 = 5 · 6 · 7.

Esto equivale a encontrar las soluciones enteras de la ecuación

Y (Y + 1) = (X 1)X(X + 1).

El problema puede ser abordado mediante técnicas de la teoría algebraica de números, es decir, utilizando la factorización real o ideal de los anillos de enteros algebraicos de los cuerpos numéricos. Sin embargo, nosotros lo trataremos desde el punto de vista de la geometría algebraica. La ecuación anterior determina una curva proyectiva regular de género 1, y la cuestión es, pues, encontrar los puntos con coordenadas enteras de una curva algebraica dada.

Puntos racionales y enteros: En realidad la teoría que vamos a desarrollar se centra principalmente en la búsqueda de puntos con coordenadas racionales,1 si bien en muchos casos y de forma más o menos indirecta nos permitirá ocuparnos de las soluciones enteras. Sucede que la existencia de puntos enteros o racionales en una curva depende crucialmente de su género. Podemos distinguir tres casos:

  • Una curva de género g = 0 no tiene puntos racionales o bien tiene infinitos. Sin embargo, puede no tener puntos enteros, tener una cantidad finita de ellos o tener infinitos.
  • Una curva de género g = 1 no tiene puntos racionales, tiene un número finito de ellos o bien tiene infinitos, pero sólo puede tener una cantidad finita de puntos enteros.
  • Una curva de género g 2 sólo puede tener una cantidad finita de puntos racionales.
Tabla de Contenido
Introducción
Capítulo I: Preliminares de geometría algebraica
1.1. Variedades afines
1.2. Variedades proyectivas
1.3. Variedades cuasiproyectivas
1.4. Variedades complejas
1.5. Curvas proyectivas
Capítulo II: La geometría de las curvas elípticas
2.1. Ecuaciones de Weierstrass
2.2. La estructura de grupo
2.3. Cubicas singulares
2.4. Isogenias
2.5. Curvas conjugadas
Capítulo III: El álgebra de las curvas elípticas
3.1. Las multiplicaciones enteras
3.2. La isogenia dual
3.3. Curvas supersingulares
3.4. Los módulos de Tate
3.5. El anillo de endomorfismos
Capítulo IV: Curvas elípticas sobre cuerpos finitos
4.1. Puntos racionales
4.2. Curvas supersingulares
4.3. El número de curvas sobre un cuerpo
Capítulo V: Grupos formales
5.1. Desarrollos de Taylor en O
5.2. Grupos formales
5.3. Grupos formales sobre cuerpos métricos
5.4. Grupos formales en característica prima
Capítulo VI: Curvas elípticas sobre cuerpos locales
6.1. Ecuaciones minimales
6.2. Reducción de curvas elípticas
6.3. Puntos enteros y puntos de torsión
6.4. La topología métrica
Capítulo VII: Curvas elípticas sobre cuerpos numéricos
7.1. El discriminante mínimo
7.2. El subgrupo de torsión
7.3. El teorema débil de Mordell-Weil
7.4. Alturas
7.5. El teorema de Mordell-Weil
Capítulo VIII: El rango de una curva elíptica
8.1. Curvas con tres puntos de orden 2
8.2. Los grupos de Selmer y Tate-Shafarevich
8.3. Curvas con un punto de orden 2
8.4. Curvas sin puntos de orden 2
Capítulo IX: Puntos enteros
9.1. Resultados elementales
9.2. Aproximación diofantica
9.3. El teorema de Roth
9.4. Resultados auxiliares
9.5. El teorema de Siegel
Capítulo X: Curvas elípticas complejas
10.1 Retículos y toros complejos
10.2. Las funciones de Weierstrass
10.3. Isogenias complejas
10.4. Funciones modulares asociadas
10.5. El grupo modular
Capítulo XI: Superficies modulares
11.1. Transformaciones de Mobius
11.2. Grupos topológicos
11.3. Puntos elípticos y parabólicos
11.4. La estructura analítica
11.5. Ejemplos de superficies modulares
11.6. La medida de una superficie modular
Capítulo XII: Funciones modulares
12.1. Funciones modulares de grado cero
12.2. La ecuación modular
12.3. Funciones modulares de grados superiores
12.4. Funciones modulares de LE(2,Z)
12.5. La función eta de Dedekind
12.6. Funciones modulares respecto a Γe(N)
12.7. Funciones modulares respecto a Γ(2)
Capítulo XIII: Multiplicación compleja
13.1. Multiplicaciones ideales
13.2. El cuerpo de clases de Hilbert
13.3. La máxima extensión abeliana
13.4. El teorema fundamental
13.5. Módulos completos
13.6. Ordenes arbitrarios
Apéndice A: La hipótesis de Riemann
Apêndice B: Operadores de Hecke
Bibliografia
Índice de Materias
Fuente: Carlos Ivorra Castillo