La teoría de las curvas elípticas es una de las creaciones más interesantes de la matemática del siglo XX, si bien sus antecedentes se remontan hasta la matemática griega. Con la teoría que vamos a desarrollar en este libro podremos tratar problemas como ´este (resuelto por Mordell en 1962):

Problema 1: Demostrar que los únicos números naturales no nulos que pueden expresarse simultáneamente como producto de dos y tres números consecutivos son

6 = 2 · 3 = 1 · 2 · 3 y 210 = 14 · 15 = 5 · 6 · 7.

Esto equivale a encontrar las soluciones enteras de la ecuación

Y (Y + 1) = (X 1)X(X + 1).

El problema puede ser abordado mediante técnicas de la teoría algebraica de números, es decir, utilizando la factorización real o ideal de los anillos de enteros algebraicos de los cuerpos numéricos. Sin embargo, nosotros lo trataremos desde el punto de vista de la geometría algebraica. La ecuación anterior determina una curva proyectiva regular de género 1, y la cuestión es, pues, encontrar los puntos con coordenadas enteras de una curva algebraica dada.

Puntos racionales y enteros: En realidad la teoría que vamos a desarrollar se centra principalmente en la búsqueda de puntos con coordenadas racionales,1 si bien en muchos casos y de forma más o menos indirecta nos permitirá ocuparnos de las soluciones enteras. Sucede que la existencia de puntos enteros o racionales en una curva depende crucialmente de su género. Podemos distinguir tres casos:

  • Una curva de género g = 0 no tiene puntos racionales o bien tiene infinitos. Sin embargo, puede no tener puntos enteros, tener una cantidad finita de ellos o tener infinitos.
  • Una curva de género g = 1 no tiene puntos racionales, tiene un número finito de ellos o bien tiene infinitos, pero sólo puede tener una cantidad finita de puntos enteros.
  • Una curva de género g 2 sólo puede tener una cantidad finita de puntos racionales.
Tabla de Contenido
Fuente: Carlos Ivorra Castillo

No olvides que para recibir los ultimos artículos directamente en tu correo te puedes suscribir (Recuerda Activar tu suscripción):
Cero-coolLibrosCarlos Ivorra Castillo,Curvas Elípticas,Matemáticas
La teoría de las curvas elípticas es una de las creaciones más interesantes de la matemática del siglo XX, si bien sus antecedentes se remontan hasta la matemática griega. Con la teoría que vamos a desarrollar en este libro podremos tratar problemas como ´este (resuelto por Mordell en 1962): Problema...