Los números complejos son una creación esencialmente algebraica. Cardano introdujo la unidad imaginaria en 1545 para expresar las soluciones, aunque fueran “imaginarias”, de las ecuaciones de segundo grado, y desde este momento los algebristas encontraron cada vez más evidencias de que los números imaginarios resultantes de admitir al número i como si fuera un número real más eran suficientes para resolver cualquier ecuación polinómica. Sin embargo, una prueba de esta conjetura tuvo que esperar hasta el siglo XIX, cuando Gauss demostró en su tesis doctoral que todo polinomio con coeficientes complejos se descompone en factores lineales, es decir, que tiene todas sus raíces en C: este es el teorema fundamental del ´algebra. Otro descubrimiento de Gauss mucho más simple, pero no menos importante, fue que la aritmética de los números complejos, introducida formalmente a partir de la relación i = p−1, tiene una interpretación geométrica sencilla si identificamos los elementos de C con los puntos del plano. Esta interpretación puede considerarse como el punto de partida del estudio analítico de los números complejos. En términos modernos C recibe la topología de R2 y la relación de esta topología con su aritmética es la misma que se da en R. En particular tiene sentido la expresión, para cualquier función compleja f definida en un entorno del punto z0. Se abre así una teoría de derivación de funciones complejas similar a su análoga real.

Sus sólidos cimientos fueron establecidos por Cauchy en los numerosos artículos que dedicó a esta materia. Como cabe esperar, las funciones derivables en el sentido complejo y las funciones derivables reales comparten sus propiedades básicas con demostraciones prácticamente idénticas (se trata de las propiedades que dependen directamente de la topología y la estructura de cuerpo), pero al profundizar en la teoría pronto se advierte una diferencia esencial con el caso real: mientras que el análisis real es esencialmente geométrico, en el sentido de la mayoría de sus resultados son conjeturables a partir de la interpretación geométrica de la derivada, la geometría apenas interviene en el análisis complejo.

Existe ciertamente una interpretación geométrica de la derivada compleja (o, más precisamente, del módulo y del argumento de la derivada), pero normalmente es de poca ayuda. Pensemos por ejemplo en los dos teoremas siguientes:

  • Si una función real derivable tiene un máximo relativo en un punto entonces su derivada es nula en dicho punto.
  • Si una función compleja derivable tiene un máximo relativo (en modulo) en un punto entonces es constante.

El primero es geométricamente evidente, el segundo no. Sin embargo no hemos de pensar por esto que la derivación compleja es una mera abstracción formal de la derivación real. Lo que sucede es que en lugar de ser una teoría descriptiva superficial, en el sentido de que la distancia entre las definiciones y los teoremas se salva a menudo formalizando ideas geométricas sencillas, la derivación compleja combina las técnicas analíticas con la estética y la profundidad del ´algebra, en el sentido de que toda ella gira en torno a unos pocos principios fáciles de enunciar, pero abstractos y lógicamente distantes de las definiciones.

Parece como si el origen algebraico del cuerpo complejo impregnase toda la teoría y así, mientras la guía del análisis real es que las funciones derivables son las que admiten tangente en cada punto, en el caso complejo es útil pensar que las funciones derivables son como “polinomios de grado infinito”, hecho nada evidente a partir de la definición, pero que vuelve naturales los teoremas básicos.

He aquí un ejemplo:

  • Si el conjunto de puntos donde una función derivable compleja se anula tiene un punto de acumulación (en el dominio de la función) entonces dicha función es idénticamente nula.

Se trata del análogo infinito al hecho de que si un polinomio se anula en un conjunto infinito de puntos entonces es idénticamente nulo. El caso infinito es un resultado profundo en el sentido de que no es evidente a partir de la definición de derivada, ni aun de los hechos básicos sobre funciones derivables, pero es natural a partir de la analogía con los polinomios que acabamos de explicar.

Este carácter algebraico-analítico de la teoría se refleja en sus aplicaciones. Aunque muchas de ellas pertenecen al análisis real, análisis de Fourier o incluso a la física (mecánica de fluidos, electricidad, etc.), una parte importante corresponde a la teoría de números, y lo más notable es que no sólo permite probar resultados analíticos del tipo de relaciones asintóticas, como el teorema de los números primos, sino también profundos teoremas de enunciados estrictamente aritméticos o algebraicos.

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Fuente: Carlos Ivorra Castillo

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Los números complejos son una creación esencialmente algebraica. Cardano introdujo la unidad imaginaria en 1545 para expresar las soluciones, aunque fueran “imaginarias”, de las ecuaciones de segundo grado, y desde este momento los algebristas encontraron cada vez más evidencias de que los números imaginarios resultantes de admitir al número...