Aunque en muchas culturas de la antigüedad es posible encontrar conocimientos matemáticos no triviales, las primeras teorías matemáticas sofisticadas, con muchos aspectos en común con las matemáticas tal y como las entendemos hoy en día, las encontramos en la cultura griega clásica. Las matemáticas griegas eran esencialmente aritmética (el estudio de los números) y geometría (el estudio de las formas geométricas). No eran para ellos disciplinas independientes, pues la concepción griega de la aritmética era esencialmente geométrica: las operaciones entre números las concebían geométricamente como relaciones entre longitudes, áreas y volúmenes. Sin embargo, con el tiempo esta relación se invirtió, pues durante la Edad Media la aritmética evolucionó para convertirse en Álgebra, y posteriormente los matemáticos fueron constatando de forma paulatina que gran parte de la geometría griega podía entenderse como una forma de álgebra (geometría analítica), y el resto como álgebra combinada con análisis matemático (geometría diferencial).

¿En qué consiste esta evolución de la aritmética hacia el álgebra? En realidad no hay una frontera definida entre la aritmética y la llamada “álgebra elemental”, pero la idea básica es que el álgebra opera con números indeterminados. Obviamente los griegos ya razonaban con números indeterminados, pero el álgebra incluye un lenguaje adecuado para tal fin y una serie de técnicas generales expresables en dicho lenguaje. Por ejemplo, los griegos ya sabían resolver lo que en el lenguaje algebraico moderno se llaman ecuaciones de segundo grado, son expresiones algebraicas modernas, al igual que las técnicas que permiten pasar de la primera expresión a la segunda. De hecho, la palabra “álgebra” procede de las palabras “al-yarabi” que aparecen en el título del tratado Alkitab al-mukhtasar fa hisab al-yarabi wa’l-muqabala (compendio de cálculo por reintegración y sustitución) del matemático persa Muhammad ibn Musa al- Jwarizmi, escrito hacia el año 820 d.C., y que contiene técnicas sistemáticas para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

Bastan los elementos del álgebra elemental para “algebrizar” la geometría, de modo que los puntos del plano o del espacio pueden identificarse con pares o ternas de números, y las rectas, los planos y las curvas se identifican a su vez con ecuaciones o sistemas de ecuaciones que caracterizan sus puntos. Esto permite reducir problemas geométricos a problemas puramente algebraicos, consistentes en analizar si determinados sistemas de ecuaciones tienen o no solución, etc.

Pero el paso que convirtió al álgebra en lo que actualmente se entiende como tal, lo que más específicamente se conoce como “algebra abstracta”, consistió en pasar de operar con cantidades indeterminadas a estudiar operaciones indeterminadas, es decir, a estudiar expresiones algebraicas como xy5 + x en las que no solo x e y son indeterminadas, sino también las operaciones + y • que se realizan entre ellas.

En efecto, el álgebra abstracta estudia las llamadas estructuras algebraicas, que consisten en conjuntos cuyos elementos pueden ser de cualquier naturaleza (no necesariamente números) en los que hay definidas unas operaciones indeterminadas a las que sólo se les exige que cumplan ciertas propiedades básicas que definen cada tipo de estructura (grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales, módulos etc.) Comprender cabalmente el álgebra abstracta requiere comprender, entre otras cosas, que este proceso de abstracción no es gratuito ni arbitrario, sino que, por el contrario, pensar en términos de estructuras abstractas es la llave hacia una comprensión mucho más profunda de muchos resultados concretos de la aritmética, la geometría y de muchas otras ramas de la matemática, muy distantes de estas. Algunos argumentos que en términos del álgebra elemental pueden ser muy laboriosos y difíciles de recordar pueden sustituirse por otros conceptualmente muy simples en los que intervienen de forma esencial conceptos abstractos. En otros casos, tratar de encontrar un argumento “elemental” es sencillamente descabellado, y entonces las técnicas abstractas resultan imprescindibles.

Un ejemplo famoso que ilustra este hecho es el llamado Último Teorema de Fermat, que es la afirmación según la cual la ecuación xn + yn = zn, para cualquier número natural n > 2, no admite soluciones enteras en las que los tres números x, y, z sean no nulos. Nadie conoce una demostración elemental de este hecho, y la única prueba conocida requiere un uso del álgebra abstracta que supera con creces a los contenidos de este libro. Aquí probaremos algunos casos particulares de este teorema (para determinados valores de n) junto con otros ejemplos y aplicaciones más elementales que, no obstante, permitan al lector percibir los nexos existentes entre las estructuras algebraicas abstractas y las situaciones concretas, tanto algebraicas como geométricas, que justifican su interés y su utilidad, si bien el amplio espectro de aplicaciones del álgebra abstracta trasciende también con creces la pequeña muestra que daremos aquí.

Puesto que el álgebra abstracta trata con conjuntos abstractos, el rigor matemático aconseja dedicar un primer capítulo —y así lo hemos hecho— a la teoría de conjuntos, en el que introducimos los elementos y conceptos básicos del lenguaje conjuntista sobre el cual se pueden fundamentar todas las ramas de la matemática.

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Fuente: Carlos Ivorra Castillo

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